Крытэрый Келі і рулетка
Крытэрый Келі кажа гульцу з перавагай, колькі ставіць. Для рулеткі ён дае ясны адказ: нічога.
Стаўка па Келі = перавага / суадносіны выплаты. Пры адмоўнай перавазе формула дае адмоўную долю, а гэта значыць: не ставіць. Крытэрый усё роўна карысны, каб зразумець, чаму гульцы на колах з перакосам выбіралі памер ставак менавіта так і чаму ўсім астатнім варта вызначаць памер стаўкі па бюджэце.
Крытэрый
Джон Келі (1956) задаўся пытаннем, як гулец з вядомай перавагай павінен выбіраць памер ставак, каб максімальна павялічыць рост банкролугрошыБанкролУся сума, адкладзеная на гульню. Кіраванне банкролам — гэта рашэнне, якой яго часткай рызыкаваць у адной стаўцы і за адну сесію.Чытаць цалкам → на доўгай дыстанцыі. Адказ для стаўкі, якая плаціць b да 1, з імавернасцюматэматыкаІмавернасцьШанц выніку, ад 0 да 1 або ад 0% да 100%. Адзін лік: 1/37 = 2,70%.Чытаць цалкам → выйгрышу p і імавернасцю пройгрышу q = 1 − p, такі: ставіць долю f* = (bp − q) / b банкролу. Дадатная f* значыць ставіць гэтую долю; нулявая або адмоўная — не ставіць. Келі працаваў у Bell Labs, і яго артыкул «A new interpretation of information rate» ставіў задачу ў рамках тэорыі інфармацыі Клода Шэнана: гулец, які атрымлівае падказкі па лініі з шумам пры справядлівых шанцах, можа павялічваць банкрол у лепшым выпадку з той хуткасцю, з якой лінія перадае інфармацыю. У 1961 годзе Леа Брэйман даказаў, што стаўкі па Келі на доўгай дыстанцыі апярэджваюць любую істотна іншую стратэгію і дасягаюць пастаўленай мэты прыкладна за найкарацейшы час.
Стаўкі па Келі ў рулетцы
Для чырвонагастаўкаЧырвонаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чырвоных лікаў. Па-французску: rouge.Чытаць цалкам →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Для стаўкі на адзін лікстаўкаСтаўка на адзін лікАдзін лік, плаціць 35:1.Чытаць цалкам →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Кожная стандартная стаўка дае адмоўную долю Келі, бо ў кожнай стаўкі адмоўная перавага, і стаўка, аптымальная для росту, роўная нулю. Стаўкі па Келі ў рулетцы — фармальны спосаб сказаць тое, што кажа старонка пра перавагу казіно: няма такога памеру, пры якім стаўка з адмоўным чаканнем павялічвае банкрол.
Дзе Келі сапраўды ўжываўся
У гульцоў, якія шукалі перакос, была перавага і была задача з памерам ставак. Джагеру, Гарсія-Пелаё і Еўдэманам усім даводзілася вырашаць, колькі ставіць на вымераную перавагу: калі ставіць замала, перавага марнуецца, а калі зашмат, ёсць рызыка разарэння раней, чым перавага праявіцца. Для ячэйкіабсталяваннеЯчэйкаАдна з 37 пранумараваных ячэек на ротары. Таксама: гняздо, кішэнька.Чытаць цалкам →, у якую шарык трапляе 1 раз з 30, Келі раіць ставіць на гэты лік 0,57% банкролу за кручэнне: пры $10 000 гэта каля $57 за кручэнне, пры тыповым росце каля 0,054% за кручэнне, або ×1,7 за 1000 кручэнняў. Сярэдні прырост удвая большы, 0,11% за кручэнне, але Келі арыентуецца на тыповы банкрол, а не на сярэдні, які раздзімаюць некалькі ўдалых серый. На практыцы звычайна бяруць палову Келі, бо ацэнка перавагі нядакладная.
Тыповае і сярэдняе
Розніца паміж тыповым банкролам і сярэднім вялікая. Возьмем ячэйку, у якую шарык трапляе 1 раз з 25, — перавага 44%, значэнне, якое Торп называе для сваёй прылады. Келі ставіць на яе 1,26% банкролу. Праз 1000 кручэнняў тыповы банкрол вырастае прыкладна ў 11,5 раза, а сярэдні, які цягнуць уверх некалькі вельмі ўдалых серый, — прыкладна ў 249 разоў. Стаўкі большыя за Келі павышаюць сярэдняе і зніжаюць тыповы вынік: пры падвойнай стаўцы Келі тыповы банкрол толькі падвойваецца, а пры стаўцы ў два з паловай разы большай за Келі ён змяншаецца, хоць кожная стаўка па-ранейшаму мае перавагу 44%. Ставіць менш амаль нічога не каштуе: палова стаўкі захоўвае каля трох чвэрцяў росту.
Калі перавага — толькі здагадка
Келі зыходзіць з таго, што перавага вядомая. За сталом яе ацэньваюць, і ацэнка звычайна завышаная. Прыклад Эпштэйна, пабудаваны на 44% Торпа, — лік, які выпаў 49 разоў за 1225 кручэнняў кола з падвойным зероколаЗероАдзіная зялёная ячэйка, якую не пакрывае ніводная стаўка на роўныя шанцы, на тузін ці на калону; крыніца перавагі казіно. Таксама: адно зеро, 0.Чытаць цалкам →: 1 раз з 25, перавага 44%, стаўка па Келі 1,26%. Але на спраўным коле з падвойным зеро 38 лікаў, і лік-лідар сярод іх набірае 49 выпадзенняў і больш за 1225 кручэнняў прыкладна адзін раз з дзевяці. Да таго ж лік-лідар у любым запісе — гэта той, якому найбольш дапамог выпадак, таму нават сапраўды перакошаная ячэйка выглядае ў запісе лепш, чым ёсць: гэта праклён пераможцы. Калі ж гэтая ячэйка насамрэч без перакосу, стаўка па Келі — проста стаўка, якая ў сярэднім губляе 5,26%. Звычайныя адказы — ставіць долю ад Келі і лічыць далей, пакуль перавага не пацвердзіцца на новым запісе (глядзі «Як выявіць перакос кола рулеткі»).
Людзі з перавагай
Ведаць перавагу — не тое самае, што добра ёю карыстацца. Хагані і Д’юі (2016) далі 61 удзельніку па $25, каб тыя паўгадзіны ставілі на манету, пра якую ім сказалі, што яна выпадае арлом у 60% выпадкаў, з выйгрышам, абмежаваным $250 (пра ліміт гульцы даведваліся толькі тады, калі яго дасягалі). Келі раіць кожны раз ставіць на арла 20% банкролу, і аўтары ацэньваюць, што стабільныя стаўкі ў 10–20% дасягнулі б ліміту прыкладна ў 95% выпадкаў. Дабраліся да яго толькі 21% удзельнікаў. 28% разарыліся, 18 з 61 паставілі ўсё на адно падкідванне, прыкладна трэць скончыла з сумай меншай за пачатковыя $25, а сярэдняя выплатагрошыВыплатаТое, што прыносіць выйгрышная стаўка, у выглядзе «X да 1» зверх вернутай стаўкі.Чытаць цалкам → склала $91. Толькі пяцёра з 61 чулі пра крытэрый Келі. Калі ёсць перавага, памер ставак вырашае, ці захаваеш ты яе; калі яе няма, як на спраўным коле, ніякі памер не дапаможа.
Што выкарыстоўваць замест яго
Без перавагі памер стаўкі — пытанне бюджэту, а не росту: стаўка = тое, што ты гатовы патраціць за кручэнне, выведзенае з бюджэту на гадзіну і тэмпу стала (старонка «Кіраванне банкролам у рулетцы»). Унёсак Келі для звычайнага гульца — яснасць яго адказу: нуль. Усё, што ты ставіш звыш нуля, — гэта цана гульні, якую выбіраеш ты сам, а не аптымізуе нейкая формула.
Пра долю ад Келі і «кіраванне грашыма»
Сістэмы, якія прадаюць як «Келі для рулеткі» і якія раяць ставіць фіксаваны працэнт банкролу на кожную стаўку, — гэта роўныя стаўкістратэгіяРоўныя стаўкіАднолькавая сума на кожным кручэнні. Эталон, з якім параўноўваюць кожную прагрэсію.Чытаць цалкам →, толькі стаўка паступова змяншаецца. Яны губляюць 2,70% абаротугрошыАбаротУся сума, пастаўленая за сесію або за перыяд, разам з выйгрышамі, пастаўленымі зноў. Таксама: handle, action.Чытаць цалкам → і, паколькі стаўка памяншаецца, калі ты прайграеш, робяць разарэнне павольным, а не малаімаверным. Гэта разумны спосаб расцягнуць бюджэт; але гэта не Келі, які сказаў бы спыніцца.
Формула
Пытанні
Толькі пры вымеранай перавазе ад кола з перакосамлабараторыяКола з перакосамКола, фізічныя дэфекты якога робяць некаторыя ячэйкі больш імавернымі, чым 1/37. Сустракаецца рэдка; выявіць можна толькі па тысячах запісаных кручэнняў.Чытаць цалкам → або ад прылады для вымярэння часу. На спраўным коле — не.
Бо ацэнка перавагі мае хібнасць, а ставіць зашмат даражэй, чым ставіць замала. Палова Келі дае тры чвэрці росту пры чвэрці дысперсііматэматыкаДысперсіяМера таго, наколькі шырока вынікі рассейваюцца вакол матэматычнага чакання. Высокая для стаўкі на адзін лік, нізкая для ставак на роўныя шанцы.Чытаць цалкам →.
Не. Келі аптымізуе рост, калі перавага ёсць. Кіраванне банкролам кантралюе выдаткі, калі яе няма.
Забаўная матэматыка
Спачатку паспрабуй сам. Кожнае рашэнне згорнута; разгарні яго, калі будзеш гатовы.
Прылада для прадказання Торпа і Шэнана давала перавагу каля 44%. Для аднаго прадказанага ліку Келі раіць ставіць 1,26% банкролагрошыБанкролУся сума, адкладзеная на гульню. Кіраванне банкролам — гэта рашэнне, якой яго часткай рызыкаваць у адной стаўцы і за адну сесію.Чытаць цалкам →. А што, калі тая ж перавага 44% прыпадае на адну стаўку, раскладзеную на пяць суседніх лікаў?
Паказаць рашэнне
Адказ Тады Келі раіць 7,1% банкрола, і банкрол расце амаль у шэсць разоў хутчэй: прыкладна ў 1,25 мільёна разоў за 1000 ставак супраць прыкладна 11,5 разу.
Стаўка на адзін лікстаўкаСтаўка на адзін лікАдзін лік, плаціць 35:1.Чытаць цалкам → з перавагай 44% выйграе з імавернасцю 0,04, бо 36 × 0,04 = 1,44. Стаўка па Келі — гэта перавага, падзеленая на каэфіцыент выплаты: 0,44/35 = 1,26%. Тыповы рост за стаўку роўны 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, таму 1000 ставак памнажаюць банкрол прыкладна на e^2,44 ≈ 11,5.
Раскладзі адну стаўку на пяць лікаў, і яна выйграе з імавернасцю 0,20 і плаціць 36/5 за 1, гэта значыць 6,2 да 1: перавага ўсё тыя ж 44%, бо 0,2 × 7,2 = 1,44. Стаўка па Келі становіцца 0,44/6,2 = 7,10%, а рост за стаўку — 0,01404, прыкладна ў 5,75 разу больш. За 1000 ставак гэта e^14,04, каля 1,25 мільёна.
Перавага тая ж; ваганні меншыя. Стаўка, якая выйграе адзін раз з пяці, можа несці большую долю банкрола без рызыкі разарэння, і рост па Келі гэта ўзнагароджвае. Торп (1984) карыстаецца гэтым прыкладам, каб паказаць, чаму гульцы з прадказаннем ставяць на сектарыколаСектарСуцэльная дуга ячэек на коле, у адрозненне ад групы на ігравым полі.Чытаць цалкам →. На практыцы пяць суседзяўстаўкаСуседзіЛік і па дзве ячэйкі з кожнага боку ад яго на коле, пяць фішак па адной на лік.Чытаць цалкам → даюць крыху меншую перавагу, чым адзін найлепшы лік (глядзі «Гульня з перавагай у рулетцы»).
Гулец знайшоў дзве суседнія ячэйкіабсталяваннеЯчэйкаАдна з 37 пранумараваных ячэек на ротары. Таксама: гняздо, кішэнька.Чытаць цалкам →, у кожную з якіх шарык трапляе 1 раз з 25, а не 1 з 37. Ці варта ставіць на сплітстаўкаСплітДва суседнія лікі, плаціць 17:1.Чытаць цалкам → паміж імі з выплатай 17 да 1 або на кожны лік асобна? Колькі раіць Келі і наколькі хутка расце банкрол у параўнанні з адной такой ячэйкай?
Паказаць рашэнне
Адказ Розніцы няма: 2,59% банкрола на спліт або 1,29% на кожны лік. Тыповы банкрол расце прыкладна ў 155 разоў за 1000 кручэнняў супраць 11,5 разу з адной ячэйкай.
Спліт выйграе з імавернасцюматэматыкаІмавернасцьШанц выніку, ад 0 да 1 або ад 0% да 100%. Адзін лік: 1/37 = 2,70%.Чытаць цалкам → 2/25 = 0,08 і плаціць 17 да 1, таму вяртае 18 × 0,08 = 1,44 на кожную пастаўленую адзінкугрошыАдзінкаБазавая стаўка, у якой лічыць сістэма або гулец. Прагрэсіі апісваюць у адзінках, каб яны падыходзілі для любога стала.Чытаць цалкам →: перавага 44%, як і ў адной ячэйкі з перакосам. Стаўка па Келі — гэта перавага, падзеленая на каэфіцыент выплаты: 0,44/17 = 2,59%.
Дзве стаўкі на адзін лік па 1,29% даюць роўна тыя ж вынікі. Калі выпадае адзін з лікаў, адна фішкагрошыФішкаЖэтон фіксаванага наміналу, які кладуць на ігравое поле, каб зрабіць стаўку. Таксама: чэк.Чытаць цалкам → выйграе 35 да 1, а другая губляецца, разам 34 × 1,29% = 44% банкрола, як плаціць спліт; калі не выпадае ні адзін, губляюцца абедзве.
Рост за кручэнне — 0,00505 супраць 0,00244 для адной ячэйкі, таму за 1000 кручэнняў тыповы банкрол расце ў e^5,046 ≈ 155 разоў, а не ў e^2,44 ≈ 11,5 разу. Два добрыя лікі вартыя значна больш, чым адзін, памножаны на два, і таму гульцы, якія шукаюць перакос, ставяць на групы лікаў. Торп (1984) робіць такое ж параўнанне.
Хвілінка гумару
Аптымальную для росту стаўку ў рулетцы ўсе і так ведаюць.
Крыніцы
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”