Імавернасць серый у рулетцы
Доўгія серыі аднаго колеру — звычайная з’ява. І для наступнага кручэння яны нічога не значаць.
Пяць чырвоных запар: 2,7%. Дзесяць: 0,074%. За сесію ў 200 кручэнняў серыя з шасці аднаго колеру з’яўляецца часцей, чым не з’яўляецца.
Як часта здараецца серыя пройгрышаў
Стаўка на роўныя шанцы на коле з адным зеро прайграе 19 кручэнняў з 37. Кожны радок паказвае імавернасць таго, што пэўная серыя кручэнняў цалкам прайграе, і колькі да таго часу прайграў гулец па Марцінгейлу, які падвойвае стаўку пасля кожнага пройгрышу.
| пройгрышаў запар | імавернасць | прыкладна 1 з | прайграна | наступная стаўка |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Імавернасць — гэта 19/37, памножанае само на сябе столькі разоў, колькі пройгрышаў, лічачы ад аднаго пэўнага кручэння. У доўгай сесіі шмат кручэнняў, з якіх такая серыя можа пачацца, таму за вечар яна значна больш імаверная, чым паказвае адзін радок.
Адна серыя
ІмавернасцьматэматыкаІмавернасцьШанц выніку, ад 0 да 1 або ад 0% да 100%. Адзін лік: 1/37 = 2,70%.Чытаць цалкам → таго, што ўсе наступныя k кручэнняў дадуць чырвонаестаўкаЧырвонаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чырвоных лікаў. Па-французску: rouge.Чытаць цалкам →, роўная (18/37)ᵏ. Два: 23,7%. Пяць: 2,7%. Дзесяць: 0,074%, прыкладна 1 з 1350. Дваццаць: 1 з 1,8 мільёна. Дваццаць шэсць, рэкорд Монтэ-Карла: 1 з 137 мільёнаў. Гэта імавернасці пэўнай серыі, якая пачынаецца з пэўнага кручэння, а пра гэта амаль ніхто насамрэч не пытаецца.
За сесію
Насамрэч людзі маюць на ўвазе пытанне «ці з’явіцца серыя даўжынёй k дзесьці ў маёй сесіі?», і адказ на яго значна большы за (18/37)ᵏ, бо сесія ў 200 кручэнняў дае амаль 200 месцаў, дзе серыя можа пачацца. Серыя з шасці і больш вынікаў аднаго колеру, чырвонага ці чорнагастаўкаЧорнаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чорных лікаў. Па-французску: noir.Чытаць цалкам →, здараецца ў сесіі з 200 кручэнняў прыкладна ў 94% выпадкаў; з васьмі і больш — прыкладна ў 47%; з дзесяці і больш — прыкладна ў 14%. Калі назваць колер загадзя, шанцы падаюць прыкладна да 75%, 27% і 7%. Гулец, які праседжвае за сталом вечар, будзе бачыць доўгія серыі кожны вечар.
Чаму гэта важна для Марцінгейла
Для кожнай адмоўнай прагрэсіістратэгіяПрагрэсіяЛюбое правіла, якое мяняе стаўку ў залежнасці ад папярэдніх вынікаў. Адмоўныя прагрэсіі павялічваюць яе пасля пройгрышаў, дадатныя — пасля выйгрышаў.Чытаць цалкам → ёсць даўжыня серыі, якая яе ламае: шэсць пройгрышаў пры базе $10 і ліміце $500, дзесяць для сістэмы ФібаначыстратэгіяФібаначыПрагрэсія па паслядоўнасці 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: крок наперад пасля пройгрышу, два крокі назад пасля выйгрышу.Чытаць цалкам →, пяць пры патройванні на тузінахстаўкаТузін1–12, 13–24 або 25–36, плаціць 2:1.Чытаць цалкам →. Імавернасць серыі з шасці пройгрышаў на роўных шанцах — (19/37)⁶ ≈ 1,8% на кожную спробу, а ў сесіі з 200 кручэнняў набіраецца, магчыма, каля 100 спроб, таму злом здараецца прыкладна ў чатырох сесіях з пяці такой працягласці. Імавернасць серый у рулетцы — вось чаму гэты абрыў зусім не рэдкасць.
Гарачыя і халодныя лікі
Тая ж арыфметыка дзейнічае і для ставак на адзін лікстаўкаСтаўка на адзін лікАдзін лік, плаціць 35:1.Чытаць цалкам →. За 300 кручэнняў чаканая колькасць выпаданняў кожнага ліку — 8,1; стандартнае адхіленнематэматыкаСтандартнае адхіленнеКвадратны корань з дысперсіі; тыповая адлегласць выніку ад матэматычнага чакання.Чытаць цалкам → — каля 2,8. Нейкі лік выпадзе 15 разоў, а нейкі — 2, проста выпадкова, і так кожны раз. Табло вынікаў, якое падсвечвае «гарачыя» лікі, падсвечвае верхні край нармальнага размеркавання. У Лабараторыі рулеткі разабрана, колькі кручэнняў трэба, каб гарачы лікміфГарачы лікЛік, які апошнім часам выпадаў часцей, чым чакалася. На спраўным коле ён нічога не прадказвае.Чытаць цалкам → нешта значыў (тысячы, з аднаго вызначанага кола).
Незалежнасць — у гэтым уся сутнасць
Серыя з дзесяці чырвоных не робіць чорнае больш імаверным, але і чырвонае больш імаверным не робіць. Абедзве імавернасці — 18/37. Серыі — уласцівасць выпадковых паслядоўнасцей, і падазронай была б якраз іх адсутнасць: паслядоўнасць з 200 кручэнняў без ніводнай серыі, даўжэйшай за чатыры, была б значна мацнейшым доказам махлярства, чым паслядоўнасць з серыяй з дванаццаці.
Формула
Пытанні
Самая вядомая — 26 чорных у Монтэ-Карла 18 жніўня 1913 года. Пра 32 чырвоныя запар паведамлялі з амерыканскага казіно ў 1943 годзе. Абедзве серыі цалкам адпавядаюць выпадковасці, калі ўлічыць, колькі кручэнняў робяць казіно.
У любым выпадку 18/37. Стаў тое, што прадугледжвае твой план, або нічога.
Не. Перакос выяўляецца ў тым, што некаторыя ячэйкіабсталяваннеЯчэйкаАдна з 37 пранумараваных ячэек на ротары. Таксама: гняздо, кішэнька.Чытаць цалкам → выпадаюць часцей на працягу тысяч кручэнняў, а не ў серыях аднаго колеру.
Забаўная матэматыка
Спачатку паспрабуй сам. Кожнае рашэнне згорнута; разгарні яго, калі будзеш гатовы.
Колькі кручэнняў еўрапейскага кола трэба ў сярэднім, каб кожны з 37 лікаў выпаў хаця б адзін раз?
Паказаць рашэнне
Адказ У сярэднім каля 155 кручэнняў; медыяна — 147.
Лічы чаканне па адным новым ліку. Першае кручэнне заўсёды дае новы лік. Калі ты ўжо бачыў 1 лік, новымі застаюцца 36 ячэекабсталяваннеЯчэйкаАдна з 37 пранумараваных ячэек на ротары. Таксама: гняздо, кішэнька.Чытаць цалкам → з 37, таму наступны новы лік патрабуе ў сярэднім 37/36 кручэння. Калі ты бачыў k лікаў, ён патрабуе 37/(37 − k).
Складзі гэтыя чаканні: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 кручэння.
Большая частка прыпадае на канец. Адзін толькі апошні лік патрабуе ў сярэднім 37 кручэнняў, а апошнія пяць — каля 85. На амерыканскім коле тая ж сума дае каля 161. Гэта задача пра калекцыянера купонаў; тое ж сярэдняе дае стандартны разлік.
Колькі розных лікаў варта чакаць за 37 кручэнняў еўрапейскага кола, па адным кручэнні на кожную ячэйку?
Паказаць рашэнне
Адказ Каля 23,6. Прыкладна трэць лікаў, каля 13, не выпадае зусім.
Вазьмі адзін лік, скажам 17. На кожным кручэнні ён не выпадае з імавернасцю 36/37, таму ўсе 37 кручэнняў ён прапускае з імавернасцю (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
У кожнага ліку тая ж імавернасць, таму ў сярэднім 37 × 0,363 ≈ 13,4 ліку адсутнічаюць, а 37 − 13,4 ≈ 23,6 выпадаюць, многія з іх двойчы і больш.
Гульцы ў рулетку называюць гэта законам трацін. Ніякі гэта не закон, а толькі арыфметыка паўтораў: у серыі даўжынёй з кола каля трэці лікаў застаюцца ў баку, на спраўным коле, як і на любым іншым. На 38 ячэйках доля таксама (37/38)³⁸ ≈ 0,363; для вялікага кола яна набліжаецца да 1/e ≈ 0,368.
Сябар паказвае табе два спісы з 50 колераў, чырвоныстаўкаЧырвонаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чырвоных лікаў. Па-французску: rouge.Чытаць цалкам → або чорныстаўкаЧорнаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чорных лікаў. Па-французску: noir.Чытаць цалкам →, нібыта з кола, з якога выкінулі зероколаЗероАдзіная зялёная ячэйка, якую не пакрывае ніводная стаўка на роўныя шанцы, на тузін ці на калону; крыніца перавагі казіно. Таксама: адно зеро, 0.Чытаць цалкам →. У адным колер мяняецца 25 разоў, а самая доўгая серыя — шэсць. У другім колер мяняецца 35 разоў, і серыя ніколі не даўжэйшая за тры. Які спіс прыдуманы?
Паказаць рашэнне
Адказ Другі. У сапраўдным спісе колер мяняецца каля 24–25 разоў. Спіс з 35 зменамі трапляецца прыкладна адзін раз на 500 спісаў, а спіс без серый даўжэйшых за тры — прыкладна двойчы на 100.
Кожны новы колер або паўтарае папярэдні, або мяняецца, напалову, таму 49 магчымасцей змены даюць у сярэднім 24,5 змены, плюс-мінус каля 3,5. Трыццаць пяць — гэта на тры такія крокі вышэй за сярэдняе; спраўнае кола дае столькі змен прыкладна адзін раз на 500 спісаў.
Серыі расказваюць тое ж самае. Сапраўдны спіс з 50 колераў мае серыю з чатырох і больш прыкладна ў 98% выпадкаў, і самая доўгая серыя ў ім часцей за ўсё — пяць або шэсць.
Людзі, якіх просяць прыдумаць выпадковы спіс, мяняюць колер занадта часта, бо серыя з чатырох ці пяці здаецца ім заканамернасцю. Тэйлар (2021) паказвае тую ж прыкмету ў спісах падкідванняў манеты, прыдуманых студэнтамі: сапраўдная выпадковасць больш схільная да серый, чым людзі чакаюць.
Кніга гісторый пра казіно расказвае пра гульца, у якога лік выпаў пяць разоў запар, і называе гэта рэкордам. Наколькі гэта рэдка на еўрапейскім коле? І як часта гэта павінна здарацца дзе-небудзь у адным казіно з 20 сталамі, дзе кожны робіць 40 кручэнняў у гадзіну дзень і ноч?
Паказаць рашэнне
Адказ Названы загадзя лік пяць разоў запар: 1 з 69 мільёнаў. Любы лік, які пасля першага з’яўлення выпадае яшчэ чатыры разы: 1 з 1,87 мільёна. Такое казіно робіць каля 7 мільёнаў кручэнняў у год, таму павінна бачыць серыю з пяці тры-чатыры разы на год.
Названы лік выпадае з імавернасцю 1/37 на кожным кручэнні, таму пяць запар маюць імавернасць (1/37)⁵ = 1 з 69 343 957. Але ніхто не называе лік загадзя. Што б ні выпала першым, наступныя чатыры кручэнні павінны гэта паўтарыць: (1/37)⁴ = 1 з 1 874 161.
20 сталоў × 40 кручэнняў × 24 гадзіны × 365 дзён = 7 008 000 кручэнняў у год. Кожнае кручэнне можа пачаць серыю, таму казіно чакае 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 серыі з пяці ў год.
Афіцыйнага рэкорду такога роду няма, і ён не патрэбны: рэдкая падзея за адным сталом — звычайная ва ўсім казіно, а гісторыі расказваюць пра той стол, дзе яна здарылася. Гісторыя ў Голдмана (2007) адбываецца на коле з падвойным зеро, дзе лічбы — 1 з 79 мільёнаў і 1 з 2,09 мільёна.
Хвілінка гумару
Доўгія серыі — гэта і ёсць тое, як выглядае выпадковасць.
Крыніцы
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.