Збежнасць на доўгай дыстанцыі: закон вялікіх лікаў у рулетцы
Як сярэдняе набліжаецца да −2,70% і чаму на гэта трэба больш часу, чым падказвае інтуіцыя.
Сярэдні пройгрыш за кручэнне з ростам колькасці кручэнняў набліжаецца да −1/37, а раскід вакол яго звужаецца як 1/√N. Пасля 1000 кручэнняў са стаўкай на чырвонае сярэдняе звычайна адхіляецца ад чаканага не больш чым на ±3%.
Закон вялікіх лікаў
Бягучае сярэдняе незалежных ставак імкнецца да матэматычнага чаканняматэматыкаМатэматычнае чаканнеСярэдні вынік на адну стаўку на доўгай дыстанцыі. −1/37 стаўкі для кожнай стандартнай еўрапейскай стаўкі.Чытаць цалкам →. Пасля N кручэнняў са стаўкай на роўныя шанцы ў адну адзінкугрошыАдзінкаБазавая стаўка, у якой лічыць сістэма або гулец. Прагрэсіі апісваюць у адзінках, каб яны падыходзілі для любога стала.Чытаць цалкам → сярэдні вынік за кручэнне мае чаканне −1/37 і стандартнае адхіленнематэматыкаСтандартнае адхіленнеКвадратны корань з дысперсіі; тыповая адлегласць выніку ад матэматычнага чакання.Чытаць цалкам → 1/√N. Пры N = 100 гэты раскід складае 10% стаўкі, амаль у чатыры разы больш за сігнал у 2,7%. Пры N = 1000 ён роўны 3,2%, прыкладна столькі ж, колькі сігнал. Пры N = 10 000 ён складае 1%, і перавагу ўжо ясна відаць. За адну сесію перавагу не заўважыш, а за год яе немагчыма не заўважыць.
Што збягаецца, а што не
Сярэдняе за кручэнне збягаецца. Агульная сума — не: з ростам N яна адыходзіць усё далей ад нуля, у чаканні прыкладна на 2,7% ад N, з раскідам √N вакол гэтага. Гулец, які зрабіў 10 000 кручэнняў па $10, у чаканні будзе ў мінусе на $2700, плюс-мінус $1000. Бягучая доля чырвоныхстаўкаЧырвонаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чырвоных лікаў. Па-французску: rouge.Чытаць цалкам → ужо даўно ўсталявалася каля 48,65%, а бягучы баланс так нідзе і не ўсталяваўся.
- p10 −$440
- p25 −$280
- медыяна −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Чаму падводзіць інтуіцыя
Людзі чакаюць, што перавага праявіцца хутка, бо 2,70% гучыць як шмат, і чакаюць, што доўгія серыі «выраўнуюцца», бо закон вялікіх лікаўматэматыкаЗакон вялікіх лікаўСярэдняе незалежных вынікаў набліжаецца да матэматычнага чакання, калі колькасць спроб расце.Чытаць цалкам → кажа, што сярэднія збягаюцца. Абедзве інтуіцыі памыляюцца з маштабам: перавага малая ў параўнанні з дысперсіяйматэматыкаДысперсіяМера таго, наколькі шырока вынікі рассейваюцца вакол матэматычнага чакання. Высокая для стаўкі на адзін лік, нізкая для ставак на роўныя шанцы.Чытаць цалкам → аднаго кручэння (σ = 1 адзінка супраць EV = 0,027), таму патрэбна (1/0,027)² ≈ 1400 кручэнняў, каб яна стала бачнай на ўзроўні адной сігмы. А збежнасць сярэдняга зусім не вяртае агульную суму назад: яна толькі размывае мінулыя ваганні.
Збежнасць для іншых ставак
Для ставак на адзін лікстаўкаСтаўка на адзін лікАдзін лік, плаціць 35:1.Чытаць цалкам → σ = 5,84, таму той самы разлік дае (5,84/0,027)² ≈ 47 000 кручэнняў, пакуль перавага дасягне адной сігмы. Гулец, які ставіць на адзін лік, можа гуляць гадамі, і ў яго ўласных запісах перавагу не адрозніш ад выпадковасці, хоць ён плаціць роўна тыя самыя 2,70%, што і гулец на чырвонае, які ўбачыць яе за некалькі тыдняў.
Што гэта значыць для праверкі сістэм
Той, хто сцвярджае, што сістэма працуе, павінен паказаць гэта на 10 000 кручэнняў і больш з задакументаваным дадатным сярэднім. Пры 1000 кручэнняў дадатнае сярэдняе на роўных шанцах пры нулявой гіпотэзе — падзея, якая здараецца адзін раз з пяці, пры 100 кручэннях гэта амаль падкідванне манеты. Сімулятары на гэтым сайце за секунду праганяюць 2000 сесій выбранай табой працягласці, а гэта больш доказаў, чым дае любы водгук.
Формула
Пытанні
ІмавернасцьматэматыкаІмавернасцьШанц выніку, ад 0 да 1 або ад 0% да 100%. Адзін лік: 1/37 = 2,70%.Чытаць цалкам → калі-небудзь зноў апынуцца ў плюсе падае да нуля, чым даўжэй ты гуляеш. Агульная сума бязмежна спаўзае ўніз.
Не. Ён значыць, што мінулыя ваганні становяцца ўсё меншай доляй усё большай выбаркі.
Для роўных шанцаў — каля 10 000, каб перавага стала ясна бачнай. Для ставак на адзін лік — каля 50 000.
Забаўная матэматыка
Спачатку паспрабуй сам. Кожнае рашэнне згорнута; разгарні яго, калі будзеш гатовы.
Два сябры гуляюць 20 раўндаў справядлівай гульніматэматыкаСправядлівая гульняГульня, у якой ні ў аднаго боку няма перавагі: матэматычнае чаканне кожнай стаўкі роўнае нулю.Чытаць цалкам →, падкідванне манеты або чырвонаестаўкаЧырвонаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чырвоных лікаў. Па-французску: rouge.Чытаць цалкам → супраць чорнагастаўкаЧорнаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чорных лікаў. Па-французску: noir.Чытаць цалкам → з вяртаннем ставак на зероколаЗероАдзіная зялёная ячэйка, якую не пакрывае ніводная стаўка на роўныя шанцы, на тузін ці на калону; крыніца перавагі казіно. Таксама: адно зеро, 0.Чытаць цалкам →, і вядуць бягучы лік. Палічы раўнды, на працягу якіх кожны з іх наперадзе (нічыя залічваецца таму, хто вёў непасрэдна перад ёй). Што больш імаверна: што лідарства падзеліцца 10 раўндаў на 10 ці што адзін сябар будзе наперадзе ўсе 20?
Паказаць рашэнне
Адказ Што адзін сябар будзе наперадзе ўсе 20 раўндаў, значна больш імаверна: 35,2%, калі лічыць любога з сяброў, супраць 6,1% для роўнага падзелу 10 на 10.
Імавернасць таго, што бягучы лік справядлівай гульні роўны пасля 2k раўндаў, — u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 пасля 10 раўндаў і 0,176 пасля 20. Класічны вынік, закон арксінуса, кажа, што імавернасць таго, што названы сябар вядзе роўна 2k з 2n раўндаў, роўная u(2k) × u(2n − 2k).
Лідарства ўсе 20: u(20) × u(0) = 0,176 для кожнага сябра, 35,2% для любога з іх. Роўны падзел: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, найменш імаверны з усіх падзелаў.
Так што ў справядлівай гульні лідарства рэдка пераходзіць з рук у рукі. Гулец, які быў наперадзе ўвесь вечар або ззаду ўвесь вечар, не ўбачыў нічога незвычайнага, і гэта нічога не кажа ні пра кола, ні пра ўменне. Эпштэйн (2013) прыводзіць той жа закон для даўжэйшых гульняў: у палове выпадкаў больш шчаслівы бок вядзе больш за 85% гульні.
Хвілінка гумару
Сярэдняе збягаецца. А сума проста сыходзіць.
Крыніцы
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.