Рызыка разарэння
Імавернасць страціць увесь банкрол раней, чым дасягнеш мэты.
Для ставак на роўныя шанцы рызыка разарэння вызначаецца формулай разарэння гульца. З банкролам $500, стаўкамі па $10 і мэтай $600 ты дасягаеш мэты прыкладна ў 57% выпадкаў, а ў астатніх прайграеш усё.
Пытанне
У цябе a адзінакгрошыАдзінкаБазавая стаўка, у якой лічыць сістэма або гулец. Прагрэсіі апісваюць у адзінках, каб яны падыходзілі для любога стала.Чытаць цалкам → банкролагрошыБанкролУся сума, адкладзеная на гульню. Кіраванне банкролам — гэта рашэнне, якой яго часткай рызыкаваць у адной стаўцы і за адну сесію.Чытаць цалкам → (гульнявых грошай, адкладзеных на гульню), і ты хочаш дайсці да a + b адзінак, ставячы па адной адзінцы на стаўку на роўныя шанцыстаўкаСтаўка на роўныя шанцыЧырвонае/чорнае, няцотнае/цотнае, вялікія/малыя. 18 лікаў, плаціць 1:1.Чытаць цалкам → з імавернасцюматэматыкаІмавернасцьШанц выніку, ад 0 да 1 або ад 0% да 100%. Адзін лік: 1/37 = 2,70%.Чытаць цалкам → выйгрышу p = 18/37 і імавернасцю пройгрышу q = 19/37. Які шанц дасягнуць мэты раней, чым дойдзеш да нуля? Адказ знайшлі Паскаль, Ферма і Гюйгенс у 1650-я гады, і гэта адзін з найстарэйшых вынікаў тэорыі імавернасцей.
Формула разарэння гульца
P(дасягнуць мэты) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Рызыка разарэнняматэматыкаРызыка разарэнняІмавернасць прайграць увесь банкрол раней, чым будзе дасягнута мэта або колькасць кручэнняў.Чытаць цалкам → — гэта адзінка мінус гэтая велічыня. Пры q/p = 19/18 ≈ 1,0556 ступень гэтых суадносін расце экспаненцыяльна з колькасцю адзінак, таму формула жорстка карае за малыя адзінкі: чым больш ставак трэба, каб дайсці да мэты, тым больш разоў па дарозе плаціцца збор у 2,70%.
Як гэта чытаць
Меншыя адзінкі шкодзяць. Спроба падвоіць $500 стаўкамі па $10 удаецца ў 6% выпадкаў; адной стаўкай $500 — у 48,6%. Смелая гульня, гэта значыць менш ставак, але большых, максімізуе шанц дасягнуць мэты ў гульні з адмоўным матэматычным чаканнем, бо мінімізуе колькасць разоў, калі спрацоўвае перавага казіно. Яна ж максімізуе дысперсіюматэматыкаДысперсіяМера таго, наколькі шырока вынікі рассейваюцца вакол матэматычнага чакання. Высокая для стаўкі на адзін лік, нізкая для ставак на роўныя шанцы.Чытаць цалкам → таго, што з табой адбудзецца, і хутка заканчвае вечар. Тэарэма называецца «смелая гульня аптымальная», і яе даказалі Дубінс і Сэвідж у 1965 годзе.
Адкуль пачалася задача
Пытанне старэйшае за рулетку. У 1656 годзе Паскаль задаў Ферма загадку: два гульцы кідаюць тры косці, у кожнага на пачатку па 12 фішак; кідок з сумай 11 перасоўвае фішку ў адзін бок, кідок з сумай 14 — у другі. Абодва яе рашылі, а Гюйгенс, які даведаўся пра яе з ліста матэматыка П’ера дэ Каркаві, надрукаваў яе ў 1657 годзе як пятую задачу першай кнігі пра імавернасць — з адказам, але без доказу. Адзінаццаць можна выкінуць 27 спосабамі, а чатырнаццаць — толькі 15, таму кожная фішка рухаецца ў бок першага гульца 9 разоў з 14, і формула вышэй пры 12 фішках у кожнага дае яму прыкладна ў 1157 разоў большы шанц выйграць усё, чым усё прайграць. Перавага ў 2,70% значна меншая, але тая ж формула паказвае, што яна робіць на працягу многіх ставак.
Сапраўдная смелая стаўка
У красавіку 2004 года малады англічанін Эшлі Рэвел прадаў амаль усё, што меў, нават адзенне, і прывёз $135 300 у казіно Plaza ў Лас-Вегасе. Пасля некалькіх дробных ставак ён адзін раз паставіў усю суму на чырвонаестаўкаЧырвонаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чырвоных лікаў. Па-французску: rouge.Чытаць цалкам →. ШарыкабсталяваннеШарыкМаленькі шарык, які запускаюць па дарожцы супраць кручэння ротара. Сучасныя шарыкі робяць з айварыну або тэфлону, 18–21 мм.Чытаць цалкам → спыніўся на чырвоным 7, і ён пайшоў з $270 600. На коле з падвойным зероколаЗероАдзіная зялёная ячэйка, якую не пакрывае ніводная стаўка на роўныя шанцы, на тузін ці на калону; крыніца перавагі казіно. Таксама: адно зеро, 0.Чытаць цалкам → гэтае адно кручэнне давала шанц 47,37% і каштавала яму ў сярэднім $7121 — перавага 5,26% на адной стаўцы. Калі б ён раскідаў тую ж суму па стаўках у $10, такая мэта была б амаль безнадзейнай. Смелая гульня не робіць стаўку добрай; яна робіць яе як мага карацейшай.
Рызыка разарэння без мэты
Калі ты проста гуляеш, пакуль не прайграеш усё, або спыняешся праз N кручэнняў, пытанне становіцца такім: «які шанц, што мой банкрол дойдзе да нуля за N кручэнняў?». Для агульнага N няма формулы ў замкнёным выглядзе, але сімулятары на гэтым сайце гэта вылічваюць: банкрол $500 пры стаўках па $10 на чырвонае амаль ніколі не згарае за 100 кручэнняў (менш за 1%), згарае прыкладна ў 9% выпадкаў за 500 кручэнняў і прыкладна ў 95% за 5000. Без правіла спынення імавернасць імкнецца да 100%, і гэта версія перавагі казіноматэматыкаПеравага казіноДоля кожнай стаўкі, якую казіно ў сярэднім пакідае сабе: 2,70% у еўрапейскай рулетцы.Чытаць цалкам → на доўгай дыстанцыі.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медыяна −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Збежнасць на доўгай дыстанцыі: закон вялікіх лікаў у рулетцы
Як доўга і наколькі ў плюсе
Яшчэ два класічныя вынікі адказваюць на пытанні, якія гульцы задаюць насамрэч. Без мэты роўныя стаўкі на роўныя шанцы доўжацца ў сярэднім 37 кручэнняў на кожную адзінку банкрола на еўрапейскім коле і 19 на амерыканскім, бо кожнае кручэнне забірае ў сярэднім 1/37 адзінкі (1/19 на амерыканскім коле): 100 адзінак у сярэднім доўжацца 3700 кручэнняў, хоць палова такіх сесій заканчваецца за 3134 (гл. «Працягласць сесіі і яе кошт»). І які б вялікі ні быў банкрол, шанц на еўрапейскім коле калі-небудзь апынуцца ў плюсе на k адзінак роўны (18/19)ᵏ. Гэта 95% для адной адзінкі і 58% для дзесяці, але ніякі банкрол, наколькі б вялікі ён ні быў, не дае роўнага шанцу калі-небудзь выйсці ў плюс на 13 адзінак; на амерыканскім коле шанц роўны (9/10)ᵏ і падае ніжэй за палову ўжо пры 7 адзінках.
Працягласць сесіі і яе коштАмерыканская рулетка: кола і правілы
Банкрол для шанцу пяцьдзесят на пяцьдзесят
Павернем пытанне: колькі трэба прынесці, каб мець хоць бы шанц пяцьдзесят на пяцьдзесят выйграць пэўную суму, перш чым прайграеш усё? Для невялікага выйгрышу — няшмат. Для большага патрэбны банкрол рэзка расце, а за пэўнай мяжой ніякага банкрола не хапае, бо нават бясконцы дае менш за шанц пяцьдзесят на пяцьдзесят калі-небудзь выйсці настолькі ў плюс. Тэйлар (2021) фармулюе гэта інакш: на амерыканскім коле, каб мець шанц пяцьдзесят на пяцьдзесят дайсці да 100 адзінак, трэба пачынаць з 94 — рызыкаваць 94, каб выйграць 6. На еўрапейскім коле спатрэбілася б 88.
Практычны ўрок
Вырашы, чаго ты хочаш дасягнуць. Калі мэта — пэўны выйгрыш, стаў буйна і рэдка. Калі мэта — доўгі вечар, стаў па дробязі і змірыся з тым, што перавага казіно забярэ свае 2,70% з вялікага абаротугрошыАбаротУся сума, пастаўленая за сесію або за перыяд, разам з выйгрышамі, пастаўленымі зноў. Таксама: handle, action.Чытаць цалкам →. Калі хочаш і таго, і другога, нечым давядзецца ахвяраваць, і звычайна гэта мэта.
Формула
Пытанні
МарцінгейлстратэгіяМарцінгейлПрагрэсія, якая падвойвае стаўку пасля кожнага пройгрышу. Што яна робіць і чаго не робіць, глядзі ў раздзеле пра стратэгіі.Чытаць цалкам → змяншае яе на кароткіх сесіях і рэзка павялічвае на доўгіх. Сумленны спосаб яе знізіць — роўныя стаўкістратэгіяРоўныя стаўкіАднолькавая сума на кожным кручэнні. Эталон, з якім параўноўваюць кожную прагрэсію.Чытаць цалкам → з большай адзінкай.
Формула вышэй — для роўных шанцаў. Для ставак з высокай дысперсіяй разарэнне пры малых стаўках больш імавернае, а мэта дасягаецца больш рыўкамі; карыстайся калькулятарам.
Кожны крок да мэты крыху менш імаверны, чым кожны крок да разарэння; гэтыя суадносіны назапашваюцца з колькасцю крокаў.
Забаўная матэматыка
Спачатку паспрабуй сам. Кожнае рашэнне згорнута; разгарні яго, калі будзеш гатовы.
У цябе $100, а ты хочаш $1000 і ставіш толькі на чырвонаестаўкаЧырвонаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чырвоных лікаў. Па-французску: rouge.Чытаць цалкам →. План першы: ставіць па $1. План другі: ставіць усё, што ёсць, пакуль не перавысіш $500, а потым толькі столькі, каб дайсці да $1000. Які план лепшы і наколькі?
Паказаць рашэнне
Адказ План другі, з вялікім адрывам. Ён дасягае $1000 прыкладна ў 9,0% выпадкаў, блізка да справядлівых 10%. План першы ўдаецца прыкладна 7 разоў з 10²².
У справядлівай гульніматэматыкаСправядлівая гульняГульня, у якой ні ў аднаго боку няма перавагі: матэматычнае чаканне кожнай стаўкі роўнае нулю.Чытаць цалкам → ты дайшоў бы ад $100 да $1000 адзін раз з дзесяці, што б ты ні рабіў, бо сярэдняя вартасць тваіх грошай застаецца $100.
Перавага казіно забірае 2,70% кожнай стаўкі, таму чым менш ты ставіш у суме, тым бліжэй застаешся да аднаго з дзесяці. План другі вырашае справу за некалькі ставак: $100 ператвараюцца ў $200, $400, $800, а потым хапае $200. Ён удаецца прыкладна ў 9,0% выпадкаў. План першы патрабуе тысяч ставак, перш чым блуканне скончыцца, і перавага казіно, малая на кожнай з іх, складаецца ў амаль непазбежнае разарэнне.
Гэта вынік Дубінса і Сэвіджа ў самай простай форме (Эпштэйн, 2013): у гульні, дзе перавага ў казіно, стаў столькі, колькі трэба, і як мага менш разоў.
У цябе $500, а ты хочаш $1000 і спыняешся, як толькі іх маеш. Ты выбіраеш адзін від стаўкі і паўтараеш яго, пакуль ён не выйграе адзін раз або пакуль не скончацца грошы. Які від дае найлепшы шанц?
Паказаць рашэнне
Адказ Адна стаўка $500 на чырвонае: 48,6%. Кожны план, які раскладвае грошы на меншыя стаўкі, дае горшы вынік.
Выберы кожную стаўку так, каб хапіла аднаго выйгрышу: $30 на стаўку на адзін лікстаўкаСтаўка на адзін лікАдзін лік, плаціць 35:1.Чытаць цалкам → выйграюць $1050, $60 на сплітстаўкаСплітДва суседнія лікі, плаціць 17:1.Чытаць цалкам → — $1020, і гэтак далей. Потым падлічы імавернасць таго, што хаця б адна стаўка выйграе раней, чым скончацца грошы. Шаснаццаць ставак па $30 на адзін лік усе прамахваюцца з імавернасцю (36/37)¹⁶ = 64,5%, таму яны дасягаюць $1000 у 35,5% выпадкаў.
Табліца паказвае кожную стаўку. Чырвонае дае найлепшы вынік, бо дасягае мэты адной стаўкай, і перавага казіно плаціцца адзін раз, з $500. СікслайнстаўкаСікслайнШэсць лікаў у двух суседніх радах, плаціць 5:1. Па-французску: sixain.Чытаць цалкам → — другі, бо яму патрэбныя толькі тры стаўкі. Горш за ўсё адна стаўка на тузінстаўкаТузін1–12, 13–24 або 25–36, плаціць 2:1.Чытаць цалкам →, шанц 12/37; нават калі ставіць на яго адзінкамігрошыАдзінкаБазавая стаўка, у якой лічыць сістэма або гулец. Прагрэсіі апісваюць у адзінках, каб яны падыходзілі для любога стала.Чытаць цалкам → па $250, пакуль не будзе $1000 ці больш, тузін дасягае мэты толькі ў 46,4% выпадкаў.
Болман (2024) будуе такую ж табліцу для амерыканскага кола. У яго радку тузіна памылка: там павінна быць 12/38 = 31,6%.
стаўкапамер стаўкі × колькасць ставакшанц дасягнуць $1000Стаўка на адзін лік$30 × 1635,5%Спліт$60 × 835,9%Стрыт$90 × 534,5%Карэ$125 × 436,7%Сікслайн$166, $166, $16841,2%Тузін$500 × 132,4%Чырвонае$500 × 148,6%Ты ставіш адну адзінку на чырвонае, кручэнне за кручэннем, з банкроламгрошыБанкролУся сума, адкладзеная на гульню. Кіраванне банкролам — гэта рашэнне, якой яго часткай рызыкаваць у адной стаўцы і за адну сесію.Чытаць цалкам →, які ніколі не канчаецца. Пасля першага кручэння ты на адну адзінку ў плюсе або ў мінусе. Якая імавернасць, што ты калі-небудзь зноў апынешся роўна ў нулі?
Паказаць рашэнне
Адказ 36 з 37, 97,3%. На амерыканскім коле — 36 з 38, 94,7%.
Калі першае кручэнне выйграе (18 разоў з 37), ты на адну адзінку ў плюсе, а перавага казіно цягне кожную бясконцую сесію ўніз, таму рана ці позна ты зноў пройдзеш праз нуль: гэта напэўна. Калі яно прайграе (19 разоў з 37), табе трэба падняцца на адну адзінку, а імавернасць калі-небудзь апынуцца на адну адзінку наперадзе — 18/19 (гл. табліцу вышэй).
Разам: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Увогуле імавернасць роўная 1 мінус розніца паміж імавернасцямі выйграць і прайграць кручэнне: 1 − 1/37 на еўрапейскім коле, 1 − 2/38 на амерыканскім. У гульні без зероколаЗероАдзіная зялёная ячэйка, якую не пакрывае ніводная стаўка на роўныя шанцы, на тузін ці на калону; крыніца перавагі казіно. Таксама: адно зеро, 0.Чытаць цалкам → розніца нулявая, і імавернасць роўная 1: лік заўсёды вяртаецца да нуля. Эпштэйн (2013) дае агульнае правіла.
Задача Паскаля 1656 года: два гульцы кідаюць тры косткі, і ў кожнага на пачатку 12 жэтонаў. Кожны кідок з 11 ачкамі перадае жэтон першаму гульцу, кожны кідок з 14 — другому; іншыя кідкі не лічацца. Якая імавернасць, што першы гулец выйграе ўсе 24? А калі замест гэтага ставіць 1 адзінку на чырвонае кожнае кручэнне супраць сябра, які выконвае ролю банка, па 12 адзінак у кожнага, якая імавернасць, што ты выйграеш усе 24?
Паказаць рашэнне
Адказ Першы гулец выйграе прыкладна 1157 разоў з 1158. Ты, на чырвоным, выйграеш усе 24 адзінкі толькі прыкладна ў 34% выпадкаў.
На трох костках 11 ачкоў выпадае 27 спосабамі, а 14 — 15 спосабамі, таму кожны жэтон, які перамяшчаецца, ідзе першаму гульцу 27 разоў з 42, 9 разоў з 14. Калі ў кожнага боку на пачатку 12, імавернасць забраць усё роўная 1/(1 + r¹²), дзе r — адносіны шанцу другога боку да твайго.
Для першага гульца r = 5/9, і (5/9)¹² ≈ 0,00086, таму імавернасць каля 0,99914: шанцы 9¹² да 5¹², або 282 429 536 481 да 244 140 625, прыкладна 1157 да 1. Гюйгенс надрукаваў менавіта гэтыя лічбы ў 1657 годзе.
На чырвоным r = 19/18 праз зеро, і (19/18)¹² ≈ 1,913: твая імавернасць 1/2,913 ≈ 34,3%. Манета дала б 50%. Перавага казіно 2,70% на кожнай стаўцы складаецца за мноства патрэбных ставак у розніцу ў 16 пунктаў.
Хвілінка гумару
Смелая гульня аптымальная. А яшчэ яна хутка заканчваецца.
Крыніцы
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Ліст Гюйгенсу ад 28 верасня 1656 г. пра задачу, якую Паскаль паставіў Ферма.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”