Задача: кола дзён нараджэння
Колькі кручэнняў трэба, каб нейкі лік паўтарыўся? Значна менш, чым думае большасць.
Задача пра дні нараджэння на коле з 37 ячэйкаміабсталяваннеЯчэйкаАдна з 37 пранумараваных ячэек на ротары. Таксама: гняздо, кішэнька.Чытаць цалкам →: ужо пасля 8 кручэнняў імавернасць таго, што нейкі лік выпаў двойчы, большая за палову. Гульцы прымаюць паўторы за заканамернасці, а гэта чаканыя паводзіны спраўнага кола.
Задача
Круці спраўнае еўрапейскае кола. Праз колькі кручэнняў імавернасцьматэматыкаІмавернасцьШанц выніку, ад 0 да 1 або ад 0% да 100%. Адзін лік: 1/37 = 2,70%.Чытаць цалкам → таго, што хаця б два кручэнні далі адзін і той самы лік, перавысіць палову? Большасць гульцоў называе нешта каля 18 або 19, палову ад 37. Правільны адказ — 8.
Рашэнне
Падлічы імавернасць таго, што паўтору няма, і аднімі яе ад адзінкі. Пасля k кручэнняў p(усе розныя) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Для k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, значыць, p(нейкі паўтор) ≈ 0,56. Для k = 14 яна роўная 0,93; для k = 20 — 0,996. Інтуіцыя падводзіць, бо колькасць пар кручэнняў расце як k², а супасці можа любая пара.
Чаму гэта важна за сталом
Табло вынікаў з апошнімі 20 лікамі амаль заўсёды пакажа хаця б адзін паўтор, часта два або тры. Гульцы бачаць «17 выпала двойчы за дзесяць кручэнняў» і робяць выснову, што 17 — гарачы лік; арыфметыка дзён нараджэння кажа, што паўтор за дзесяць кручэнняў здараецца ў 74% выпадкаў, а лік, які паўтарыўся, выпадковы. Заканамернасць сапраўдная; сэнсу ў ёй няма.
Наступная задача
Колькі кручэнняў трэба, каб пэўны лік, скажам 17, выпаў двойчы? Гэта іншае пытанне са значна большым адказам: у сярэднім чакаць давядзецца 74 кручэнні, а імавернасць дзвюх 17 за 20 кручэнняў — каля 10%. Розніца паміж «нейкі лік паўтараецца» (8 кручэнняў) і «гэты лік паўтараецца» (74 кручэнні) — гэта ўся розніца паміж заканамернасцю, якую заўважаеш пасля, і прагнозам, які робіш загадзя.
Паспрабуй сам
Запусці дэма-гульню на дзесяць кручэнняў і паглядзі гісторыю. Звычайна там будзе паўтор. Запусці яшчэ раз. Лік, які паўторыцца, будзе іншы. Зрабі так дзесяць разоў — і ты ўбачыў задачу пра дні нараджэнняматэматыкаЗадача пра дні нараджэнняКолькі трэба людзей, каб у двух, хутчэй за ўсё, супаў дзень нараджэння, або колькі кручэнняў, каб лік, хутчэй за ўсё, паўтарыўся. На коле з 37 ячэйкамі 8 кручэнняў дастаткова, каб імавернасць была большая за палову.Чытаць цалкам →; зрабі тысячу (сімулятары гэта ўмеюць) — і ты яе вымераў.
Формула
Пытанні
Менавіта так, толькі з 37 ячэйкамі замест 365 дзён. 23 чалавекі даюць 50% для дзён нараджэння; 8 кручэнняў даюць 56% для кола.
50% прыкладна пасля 19 кручэнняў. Таксама звычайная справа.
Не. Пра яго маглі б сведчыць тысячы кручэнняў на адным коле; адзін паўтор — ніколі.
Забаўная матэматыка
Спачатку паспрабуй сам. Кожнае рашэнне згорнута; разгарні яго, калі будзеш гатовы.
Табло вынікаў побач з амерыканскім колам паказвае апошнія 16 кручэнняў. Наколькі імаверна, што ніводны лік не сустракаецца на ім двойчы?
Паказаць рашэнне
Адказ Прыкладна 2,5%: прыкладна 39 табло з 40 паказваюць хоць адзін паўтор.
Ідзі кручэнне за кручэннем. Першае кручэнне можа быць любым. Другое павінна з ім не супасці: 37 шанцаў з 38. Трэцяе павінна не супасці з абодвума: 36 з 38. Шаснаццатае павінна не супасці з пятнаццаццю лікамі: 23 з 38.
Перанож: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Рэдкасць — якраз табло без паўтору. Табло з паўторам нічога не кажа пра кола.
Якая імавернасць таго, што за дзесяць кручэнняў еўрапейскага кола 17 выпадзе роўна пяць разоў? Што які-небудзь лік, любы, выпадзе пяць разоў або больш? І што які-небудзь лік выпадзе як мінімум тры разы за чатыры кручэнні?
Паказаць рашэнне
Адказ 17 роўна пяць разоў: 1 з 315 576. Які-небудзь лік пяць разоў або больш: прыкладна 1 з 8333. Які-небудзь лік тры разы або больш за чатыры кручэнні: 1 з 349.
17 пяць разоў: выберы, якія пяць з дзесяці кручэнняў, 252 спосабы, кожны з імавернасцю (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Разам — 1 з 315 576.
Які-небудзь лік: кожны з 37 лікаў мае імавернасць 1 з 308 325 выпасці пяць разоў або больш, што дае 37 з 308 325, або 1 з 8333. Рэдкі выпадак, калі два лікі выпадаюць па пяць разоў, улічаны двойчы, але калі яго адняць, пры такой дакладнасці нічога не зменіцца.
Тры разы за чатыры кручэнні: для аднаго ліку — 4 × 36 + 1 = 145 з 37⁴ магчымых вынікаў; для любога з 37 лікаў — 145/37³ = 1 з 349.
Для кола з падвойным зероколаЗероАдзіная зялёная ячэйка, якую не пакрывае ніводная стаўка на роўныя шанцы, на тузін ці на калону; крыніца перавагі казіно. Таксама: адно зеро, 0.Чытаць цалкам → адпаведныя лічбы — 1 з 359 275, 1 з 9243 і 1 з 368. Разрыў паміж «17» і «якім-небудзь лікам» — гэта зноў задача пра дні нараджэнняматэматыкаЗадача пра дні нараджэнняКолькі трэба людзей, каб у двух, хутчэй за ўсё, супаў дзень нараджэння, або колькі кручэнняў, каб лік, хутчэй за ўсё, паўтарыўся. На коле з 37 ячэйкамі 8 кручэнняў дастаткова, каб імавернасць была большая за палову.Чытаць цалкам →: ёсць 37 спосабаў здзівіцца.
Хвілінка гумару
Нешта паўтараецца рана. І гэтае нешта выпадковае.
Крыніцы
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. «Ask the Wizard», пытанні пра рулетку.