Задача: ліміт стала
Марцінгейл з базавай стаўкай $10 за сталом з лімітам $500. Як часта ён ламаецца, колькі губляе, калі гэта здараецца, і ці дапамагае павышэнне ліміту?
Яго ламаюць шэсць пройгрышаў запар: 1,8% на цыкл, прыкладна 60% сесій са 100 кручэнняў. Злом каштуе $630. Павышэнне ліміту да $5000 робіць злом радзейшым (0,25% на цыкл) і большым ($5110). Чаканы пройгрыш на долар ставак — 2,70% пры любым ліміце.
Задача
Гулец ставіць $10 на чырвонаестаўкаЧырвонаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чырвоных лікаў. Па-французску: rouge.Чытаць цалкам → і падвойвае стаўку пасля кожнага пройгрышу, а пасля выйгрышу вяртаецца да пачатковай. Максімальная стаўка за сталом — $500. (a) Колькі пройгрышаў запар ламае прагрэсіюстратэгіяПрагрэсіяЛюбое правіла, якое мяняе стаўку ў залежнасці ад папярэдніх вынікаў. Адмоўныя прагрэсіі павялічваюць яе пасля пройгрышаў, дадатныя — пасля выйгрышаў.Чытаць цалкам →? (b) Якая імавернасцьматэматыкаІмавернасцьШанц выніку, ад 0 да 1 або ад 0% да 100%. Адзін лік: 1/37 = 2,70%.Чытаць цалкам → гэтага на цыкл? (c) Колькі губляецца пры зломе? (d) Як мяняюцца адказы пры ліміце $5000? (e) Ці можа які-небудзь ліміт зрабіць сістэму прыбытковай?
Рашэнні (a)–(c)
Стаўкі: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Сёмая была б 640 > 500, таму прагрэсію ламаюць шэсць пройгрышаў. (b) p(пройгрышу) = 19/37 на чырвоным; (19/37)⁶ = 0,0183, прыкладна 1,8% на цыкл. Цыкл доўжыцца ў сярэднім каля двух кручэнняў, таму ў сесіі са 100 кручэнняў прыкладна 50 цыклаў, і p(хаця б аднаго злому) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, гэта 63 базавыя адзінкігрошыАдзінкаБазавая стаўка, у якой лічыць сістэма або гулец. Прагрэсіі апісваюць у адзінках, каб яны падыходзілі для любога стала.Чытаць цалкам → супраць $10, якія цыкл спрабаваў выйграць.
Рашэнне (d)
Пры $5000 дазволены стаўкі да 2560; дзясятую стаўку, 5120, не прымуць. Прагрэсію ламаюць дзевяць пройгрышаў: (19/37)⁹ ≈ 0,25% на цыкл, прыкладна 11% сесій са 100 кручэнняў. Пройгрыш пры зломе: 10 + 20 + … + 2560 = $5110. Гулец купіў больш рэдкую катастрофу цаной большай. На працягу многіх сесій чаканы кошт зломаў складае p × пройгрыш ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 на цыкл пры ліміце $500 і 0,0025 × 5110 = $12,8 пры $5000; з дакладнасцю да акруглення гэта той самы лік, і ён роўны чаканаму пройгрышуматэматыкаЧаканы пройгрышМатэматычнае чаканне, памножанае на ўсю пастаўленую суму; сярэдні пройгрыш за сесію або за перыяд.Чытаць цалкам → цыкла плюс $10, якія зарабляюць выйгрышныя цыклы.
Рашэнне (e)
Не. Чаканы пройгрыш на цыкл = (чаканая агульная сума ставак у цыкле) / 37 пры любым ліміце, бо кожная стаўка дае −1/37 ад самой сябе. Ліміт вызначае толькі тое, як пройгрыш размяркоўваецца паміж мноствам дробных выйгрышаў і нешматлікімі буйнымі пройгрышамі. Без ліміту і з бясконцым банкроламгрошыБанкролУся сума, адкладзеная на гульню. Кіраванне банкролам — гэта рашэнне, якой яго часткай рызыкаваць у адной стаўцы і за адну сесію.Чытаць цалкам → прагрэсія «працавала» б у тым сэнсе, што ніколі не ламалася б, але пры гэтым ставіла б неабмежаваную суму з чаканым пройгрышам 2,70% ад гэтай неабмежаванай сумы. Не ліміт сталастолЛіміт сталаМінімальная і максімальная дазволеная стаўка. Менавіта максімум спыняе прагрэсіі з падвойваннем.Чытаць цалкам → перашкаджае МарцінгейлустратэгіяМарцінгейлПрагрэсія, якая падвойвае стаўку пасля кожнага пройгрышу. Што яна робіць і чаго не робіць, глядзі ў раздзеле пра стратэгіі.Чытаць цалкам → працаваць. Перашкаджае арыфметыка.
Два сапраўдныя сталы
Прыклад Торпа — стол са стаўкамі ад $1 і максімумам $1000, дзе гулец спадзяецца выйграць $30 на вячэру па адным доляры. Стаўкі 1, 2, 4 … 512 дазваляюць дзесяць ставак, таму дзесяць пройгрышаў запар ламаюць прагрэсію: адзін раз за 785 цыклаў на еўрапейскім коле (адзін раз за 613 на амерыканскім) коштам $1023. Усе трыццаць цыклаў праходзяць удала ў 96,2% выпадкаў. У астатніх 3,8% гулец губляе каля $1000, і сярэдні вынік вечара — −$9,17, роўна 1/37 ад $339, якія трыццаць цыклаў у сярэднім ставяць. Стол са стаўкамі ад $5 і максімумам $2000 нічым не адрозніваецца: стаўкі да $1280 дазваляюць дзевяць ставак, і злом надыходзіць адзін раз за 403 цыклы на еўрапейскім коле (адзін раз за 323 на амерыканскім) і каштуе $2555.
Багаты гулец
Дадзім прагрэсіі вялікі банкрол замест нізкага ліміту: 1000 адзінак, базавая стаўка ў адну адзінку і 1000 кручэнняў на чырвонае, з вяртаннем да адной адзінкі кожны раз, калі наступнае падваенне большае за тое, што засталося. Мы змадэлявалі мільён такіх вечароў. На еўрапейскім коле 52% заканчваюцца ў плюсе, 21% губляюць усё, а сярэдні вынік — −124 адзінкі. Нават у гульні без зероколаЗероАдзіная зялёная ячэйка, якую не пакрывае ніводная стаўка на роўныя шанцы, на тузін ці на калону; крыніца перавагі казіно. Таксама: адно зеро, 0.Чытаць цалкам →, дзе кожная стаўка справядлівая, у плюсе скончылі б толькі каля 60%. Звычайны вечар — невялікі выйгрыш; за сярэдняе плацяць вечары, якія заканчваюцца нулём.
Урок
Казіно ўсталёўваюць ліміты, каб абмежаваць уласную дысперсіюматэматыкаДысперсіяМера таго, наколькі шырока вынікі рассейваюцца вакол матэматычнага чакання. Высокая для стаўкі на адзін лік, нізкая для ставак на роўныя шанцы.Чытаць цалкам →, а не каб перамагаць сістэмы. Перамога над Марцінгейлам — пабочны эфект, якому яны толькі рады, і арыфметыка ўсё роўна перамагла б яго. Гулец, які лічыць, што праблема ў ліміце, знайшоў абрыў і прыняў яго за схіл.
Формула
Пытанні
Ён дазваляе дацягнуць да вышэйшага ліміту, дзе злом радзейшы і буйнейшы. Чаканы пройгрыш на долар не мяняецца.
Стаўкі 10, 30, 70, 150, 310: ліміт $500 дасягаецца пасля пяці пройгрышаў, і злом каштуе $570. Тыя самыя 2,70%.
Каб адзін гулец не мог паставіць больш, чым рэзерв казіно здольны спакойна выплаціць. Кіраванне дысперсіяй.
Забаўная матэматыка
Спачатку паспрабуй сам. Кожнае рашэнне згорнута; разгарні яго, калі будзеш гатовы.
МарцінгейлстратэгіяМарцінгейлПрагрэсія, якая падвойвае стаўку пасля кожнага пройгрышу. Што яна робіць і чаго не робіць, глядзі ў раздзеле пра стратэгіі.Чытаць цалкам → пачынае з $100 на чырвонаестаўкаЧырвонаеСтаўка на роўныя шанцы на 18 чырвоных лікаў. Па-французску: rouge.Чытаць цалкам → і дазваляе сабе не больш за n ставак за цыкл: пасля n пройгрышаў запар ён здаецца і пачынае зноў. Запішы сярэдні вынік аднаго цыкла як формулу ад n і падлічы яго для 5, 6 і 7 ставак на еўрапейскім коле.
Паказаць рашэнне
Адказ Сярэдняе роўнае 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 для 5 ставак, −$17,35 для 6 і −$20,52 для 7. Чым больш ставак дазволена, тым горшы сярэдні цыкл, а не лепшы.
Цыкл выйграе $100, калі толькі не прайграюць усе n ставак, што здараецца з імавернасцю qⁿ, дзе q = 19/37. Калі ўсе яны прайграюць, стаўкі 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ складаюць 100 × (2ⁿ − 1). Таму сярэдняе роўнае 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Тут 2q = 38/37, крыху больш за 1, таму (2q)ⁿ расце з n, а сярэдняе падае: n = 5 дае 1,1426 і −$14,26; n = 6 дае 1,1735 і −$17,35; n = 7 дае 1,2052 і −$20,52. Даўжэйшая лесвіца прайграе радзей, у 3,6%, 1,8% і 0,9% цыклаў, але кожны пройгрыш удвая большы, і за цыкл праз стол праходзіць больш грошай, па 2,70% з кожнай стаўкі.
На амерыканскім коле 2q = 40/38, і лічбы — −$29,24, −$36,04 і −$43,20 (Тэйлар, 2021). У гульні без зероколаЗероАдзіная зялёная ячэйка, якую не пакрывае ніводная стаўка на роўныя шанцы, на тузін ці на калону; крыніца перавагі казіно. Таксама: адно зеро, 0.Чытаць цалкам → 2q = 1, і кожны цыкл у сярэднім дае роўна нуль, якой бы доўгай ні была лесвіца.
«Вялікі Марцінгейл» падвойвае стаўку пасля пройгрышу і дадае адну адзінкугрошыАдзінкаБазавая стаўка, у якой лічыць сістэма або гулец. Прагрэсіі апісваюць у адзінках, каб яны падыходзілі для любога стала.Чытаць цалкам →, таму стаўкі ідуць 1, 3, 7, 15, 31 … Наколькі ты ў плюсе, калі першы выйгрыш прыходзіць на 1-й, 2-й, 3-й або k-й стаўцы? Пры адзінцы $10 і максімуме $500 як часта цыкл ламаецца і колькі цыкл каштуе ў сярэднім?
Паказаць рашэнне
Адказ Выйгрыш на k-й стаўцы пакідае цябе на k адзінак у плюсе: +1, +2, +3 і гэтак далей. Пры $10 і $500 цыкл ламаецца пасля пяці пройгрышаў, у 3,57% цыклаў, на −$570. У сярэднім цыкл губляе $2,32 з $85,73 пастаўленых: 2,70%.
k-я стаўка роўная 2ᵏ − 1 адзінак: 1, 3, 7, 15, 31. Першыя k − 1 ставак складаюць 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Выйгрыш на k-й стаўцы плаціць 2ᵏ − 1, таму цыкл заканчваецца на (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k адзінак у плюсе: адна дадатковая адзінка за кожны пройгрыш перад выйгрышам.
Пры $10 за адзінку стаўкі — $10, $30, $70, $150 і $310; наступная, $630, перавышае максімум $500. Пяць пройгрышаў запар, (19/37)⁵ = 3,57%, каштуюць 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Сярэдняе: выйгрышы прыносяць $10 × k з імавернасцю (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 для k ад 1 да 5, а зрыў забірае $570 з імавернасцю 3,57%; разам −$2,32. Пастаўленыя грошы складаюць у сярэднім $85,73 за цыкл, і 2,32/85,73 = 2,70%. Звычайны Марцінгейл за тым жа сталом ламаецца пасля шасці пройгрышаў, у 1,83% цыклаў, на −$630 і губляе $1,74 з $64,20 пастаўленых: зноў 2,70%.
Гулец плануе Марцінгейл на чырвонае з першай стаўкай $1 за сталом з лімітам $1000, так што магчымыя дзесяць ставак: $1, $2, $4 і гэтак далей да $512. Як часта цыкл прайграе ўсе дзесяць, колькі ў сярэднім на гэта сыходзіць і як часта вечар з 200 ставак так заканчваецца?
Паказаць рашэнне
Адказ Цыкл прайграе ўсе дзесяць прыкладна адзін раз з 784, і гэта каштуе $1023. У сярэднім гэта каля 1600 ставак, а вечар з 200 ставак упіраецца ў сцяну прыкладна ў 11% выпадкаў. Цыкл усё роўна губляе ў сярэднім $0,31 з $11,31 пастаўленых: 2,70%.
Стаўка на чырвонае прайграе з імавернасцю 19/37, уключаючы зеро. Дзесяць запар: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, прыкладна 1 з 784. Стаўкі 1 + 2 + 4 + … + 512 складаюць $1023.
Цыкл займае ў сярэднім 2,05 стаўкі, таму 784 цыклы займаюць каля 1600 ставак. Калі лічыць па кручэннях, серыя з дзесяці пройгрышаў трапляецца дзе-небудзь у 200 стаўках у 11,3% выпадкаў.
Паміж катастрофамі гулец выйграе $1 за цыкл: каля $783 да дрэннага, потым −$1023, каля −$240 за ўвесь адрэзак. За цыкл: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Пастаўленыя грошы за цыкл: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. І −0,31/11,31 = −2,70%.
Параўнай з першай стаўкай $10 пры ліміце $500, шэсць ставак: сцяна сустракаецца адзін раз за 55 цыклаў, а вечар з 200 ставак натыкаецца на яе ў 84% выпадкаў. Вышэйшы ліміт робіць крах радзейшым і большым, а не таннейшым.
Хвілінка гумару
Радзей і больш — пры любым ліміце. Здабытак сталы.
Крыніцы
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.